En première ou en terminale, les formules d’addition en trigonométrie posent souvent le même problème : on connaît la structure cos(a+b) ou sin(a+b), mais on hésite sur le signe au milieu. Plus ou moins ? C’est là que la phrase « cos cos sin sin » entre en jeu. Deux règles courtes suffisent pour retrouver le bon signe à chaque fois, sans apprendre quatre formules par cœur.
Pourquoi le signe des formules d’addition pose problème en trigonométrie
Les formules d’addition mélangent deux fonctions (cosinus et sinus) dans une même expression. Chacune a ses propres propriétés de parité, et c’est précisément ce décalage qui génère la confusion.
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Le cosinus est une fonction paire : cos(-x) = cos(x). Le sinus est une fonction impaire : sin(-x) = -sin(x). Quand on passe de cos(a+b) à cos(a-b), le signe entre les deux termes change. Pour le sinus, le signe reste identique à celui de l’opération.
Autrement dit, le cosinus contrarie le signe, le sinus le conserve. Ce lien direct entre parité et signe de la formule est rarement mis en avant dans les cours, alors qu’il permet de comprendre la logique au lieu de mémoriser à l’aveugle.
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Cos cos sin sin : décryptage de la formule du cosinus
Prenons la formule de cos(a+b). Elle s’écrit :
cos(a+b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)
La phrase mnémotechnique « cos cos sin sin » décrit l’ordre des fonctions dans l’expression : d’abord le produit des cosinus, puis le produit des sinus. C’est la structure. Reste le signe.
Vous additionnez les angles (a+b) ? Le cosinus contrarie : le signe au milieu est moins. Vous soustrayez les angles (a-b) ? Le cosinus contrarie encore : le signe devient plus. C’est contre-intuitif au début, mais la règle est constante.
- cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b (addition → signe moins)
- cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b (soustraction → signe plus)
Un moyen visuel aide à fixer cette structure : les termes « cos cos » et « sin sin » sont disposés en parallèle, deux lignes de même fonction. On parle parfois de la règle « cosinus parallèle » : chaque produit associe la même fonction pour les deux angles.
Sin cos cos sin : la formule du sinus et la règle du croisement
La formule de sin(a+b) fonctionne différemment :
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
Ici, les fonctions alternent : sin-cos puis cos-sin. Les termes se croisent, d’où l’expression « sinus croise ». Chaque produit mélange un sinus et un cosinus, avec les angles a et b qui permutent.
Pour le signe, la règle est l’inverse du cosinus : le sinus suit le signe de l’opération. Addition des angles ? Le signe au milieu est plus. Soustraction ? Le signe est moins.
- sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b (addition → signe plus)
- sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b (soustraction → signe moins)
La cohérence avec la parité est vérifiable : sin(-x) = -sin(x) transmet le signe négatif. Quand on remplace b par -b dans sin(a+b), le deuxième terme change de signe, ce qui donne bien sin(a-b) avec un moins.
Méthode mnémotechnique complète pour retenir les signes en trigonométrie
Deux phrases condensent tout le mécanisme :
« Cosinus contrarie, sinus suit. »
Pour le cosinus, le signe dans la formule est l’opposé du signe dans l’angle. Pour le sinus, le signe dans la formule est le même que celui dans l’angle.
Associez-y la structure :
- Cosinus → produits parallèles (cos cos, sin sin)
- Sinus → produits croisés (sin cos, cos sin)
Avec ces deux repères (structure et signe), vous reconstituez les quatre formules d’addition sans aucune hésitation. Vous n’avez plus quatre expressions à retenir, mais deux règles qui génèrent les quatre formules.
Vérifier ses formules d’addition avec des valeurs connues
Un doute persiste avant un examen ? Testez avec des angles dont vous connaissez les valeurs exactes. Prenez a = π/6 et b = π/3. Leur somme vaut π/2.
cos(π/2) = 0. Appliquons la formule : cos(π/6) cos(π/3) – sin(π/6) sin(π/3). Soit (√3/2)(1/2) – (1/2)(√3/2) = √3/4 – √3/4 = 0. Le résultat colle.
Pour le sinus : sin(π/2) = 1. La formule donne sin(π/6) cos(π/3) + cos(π/6) sin(π/3). Soit (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2) = 1/4 + 3/4 = 1. Correct.
Ce test rapide avec π/6 et π/3 confirme la formule en quelques secondes. Il fonctionne aussi avec a = b = π/4 (somme = π/2), ce qui permet de vérifier la même chose avec d’autres valeurs.
Les erreurs fréquentes sur cos cos sin sin et comment les éviter
La première erreur consiste à appliquer le signe du cosinus au sinus, ou inversement. Écrire sin(a+b) avec un moins au milieu est la faute la plus courante. La phrase « contrarie / suit » élimine ce piège.
La deuxième erreur porte sur la structure : écrire cos(a) cos(b) + cos(a) sin(b) en mélangeant les termes parallèles et croisés. Si vous vous souvenez que le cosinus garde les fonctions identiques et le sinus les croise, cette confusion disparaît.
Troisième piège : oublier que ces règles s’étendent aux formules de duplication. cos(2a) = cos(a+a) = cos²a – sin²a, ce qui découle directement de « cos cos moins sin sin » avec b = a. Le même raccourci fonctionne pour sin(2a) = 2 sin a cos a, obtenu par « sin cos plus cos sin » avec b = a.
Le plus fiable reste de repartir des deux phrases de base chaque fois qu’un doute apparaît. Reconstruire la formule prend moins de temps que de fouiller dans sa mémoire un résultat appris mécaniquement, et le risque d’erreur de signe tombe à zéro.
